高考數(shù)學復習如何做到“知己知彼”

■本期聚焦·高考數(shù)學復習備考策略

很多人將高考考場比作戰(zhàn)場。我們?nèi)绾尾拍艽蜈A這場戰(zhàn)爭呢？《孫子兵法》中有句名言：“知彼知己，百戰(zhàn)不殆；不知彼而知己，一勝一負；不知彼不知己，每戰(zhàn)必殆。”高考數(shù)學復習亦是如此。

教師要研究高考，辯證認識試題的“穩(wěn)”與“新”

教師必須深入了解高考，這是高三復習的前提和基礎。目前教師了解高考信息的主渠道是教育主管部門組織的教研活動和學校的內(nèi)部傳達。除此之外，教師還應根據(jù)自身實際情況對所屬學科高考進行研究。以數(shù)學學科為例，教師應通過如下三個途徑增進對數(shù)學高考的認知。

一是讀政策文件，了解高考改革方向，避免小道消息滿天飛。由“一核、四層、四翼”為主要內(nèi)容的高考評價體系，明確了“為什么考、考什么、怎么考”的問題。高考數(shù)學科的功能定位為：發(fā)揮數(shù)學學科特點，以測試數(shù)學綜合能力、發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)為目標，通過創(chuàng)新試卷結構與試題形式，更好地實現(xiàn)立德樹人、服務選才、引導教學的核心功能。

二是讀文獻材料，體會高考政策在數(shù)學科的具體要求。每年高考之后，教育部教育考試院都會第一時間“官宣”，《中國教育報》等專業(yè)媒體也會刊發(fā)分析試題的文章，教師在閱讀時要有所思考，特別在考慮如何借鑒時要有所選擇。高考命題有嚴格要求，要嚴格依據(jù)高中課程標準，確保內(nèi)容不超范圍、深度不超要求，教師在讀文獻材料時要心中有數(shù)。

三是研做真題，體會政策如何落實在題目中。對于近年高考真題，教師要反復做，通過解題理解考試對數(shù)學知識的具體要求，理解考試對學生能力的具體要求。整套做，有助于了解全卷的整體結構；分類做，有助于了解同類問題的呈現(xiàn)規(guī)律。

研究高考的重中之重，是要認識到試題“穩(wěn)”在哪里，又“新”在哪里。

保持命題穩(wěn)定，這是高考命題的基本要求。教師應通過做真題、研真題，對照課標和教材，理解高考數(shù)學科的知識體系與課程標準知識體系的一致性，理解教材中通過“歸納”“探索”等活動培養(yǎng)學生能力的設計與考試通過開放、探究問題考查學生能力的要求的一致性。

近年高考命題強調(diào)以情境作為考查內(nèi)容和考查要求的載體，這是高考命題改革創(chuàng)新的一個重要方向。目前高考數(shù)學的試題情境分為課程學習情境、生活實踐情境、探索創(chuàng)新情境。課程學習情境試題主要關注已有的知識基礎和準確程度，具有穩(wěn)定性。生活實踐情境試題主要考查“去情境化”能力，要求考生會將具體情境化問題轉(zhuǎn)化為常規(guī)的數(shù)學問題。探索創(chuàng)新情境試題，需要學生利用已有知識和技能，借助特殊與一般、歸納概括、類比，以及分類討論、數(shù)形結合等思想方法，充分調(diào)動已有學習經(jīng)驗，分析問題解決問題。因此，新情境類題目雖然看起來新，但是解決新題的基礎知識和基本方法，都是課程標準范圍內(nèi)的。

真正了解高考，教師要做到在穩(wěn)定的題目中理解變化和發(fā)展；在創(chuàng)新的題目中理解知識和方法的基礎性、靈活性，尤其是要體會高考考查要求的基礎性、綜合性、應用性和創(chuàng)新性是如何體現(xiàn)的。

教師要研究學生，因人制宜采取針對性指導策略

教師整天和學生在一起，但未必真正了解自己的學生。筆者曾做過一項調(diào)查，對于一道難度系數(shù)為0.85（理論上難度系數(shù)大于0.75的題目較為簡單）的高考數(shù)學題，被調(diào)查的不同學校數(shù)學教師中，認為難和比較難的超過40%。這顯然和學生的作答情況不符。

課堂教學中也會出現(xiàn)類似的情況。筆者聽過一節(jié)高三一模試卷講評課，重點是復習立體幾何的內(nèi)容。教師設定的教學目標為：“理解直線的方向向量與平面的法向量；能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計算問題，了解向量方法在研究幾何問題中的應用?！苯虒W重點為分析試卷中解答題的解答思路。授課中，教師帶領學生復習用向量法計算空間角的相關公式，再講解試卷中的立體幾何綜合題。我們在聽課中發(fā)現(xiàn)學生對于公式非常清楚，此題出現(xiàn)錯誤的原因是在建立空間直角坐標系的過程中出錯，再細分析，是由于立體圖形底面是不規(guī)則的四邊形，學生對于垂直關系的理解有誤。顯然教師本節(jié)課的教學目標和教學重點，沒有找準問題所在，與學生的實際情況不符。

教師應針對學生群體的不同特點進行有針對性的指導。筆者曾對某學校普通班與實驗班的學生學習情況進行調(diào)研，發(fā)現(xiàn)了很多“意想不到”的結果。比如課后復習，按要求對知識進行整理、畫出知識網(wǎng)絡圖、認真整理錯題并規(guī)范書寫正確過程的學生比例，普通班高于實驗班；實驗班的學生“只在頭腦中簡單回顧當天所學內(nèi)容”的比普通班學生多，更多學生習慣于在錯題旁邊寫出思路要點、想清楚錯誤原因。高三教師在關注學習成績的基礎上，要充分了解學生的學習態(tài)度、學習動機、學習習慣等，及時調(diào)整指導策略。

學生個體的差異客觀存在，這就要求教師反思前面兩年半的教學情況，幫學生進行定位。高考作為大規(guī)模常模測試，關注的是學生整體排名。學生個體在選考時，要綜合考慮自己的愛好、特長等因素，在制訂復習計劃和努力目標時，也要綜合考慮自己的實際情況，想清楚在有限的時間和精力下，哪個學科（部分）提高的可能性更大、提高的速度更快。

高三教師要增進對學生的了解，不僅僅是在課堂教學中多關注學生，也包括課后與學生多交流。高三復習，學生感覺壓力大，教師是學生在學習方面最信賴的人，教師要及時了解學生的學習狀態(tài)、遇到的困難，及時提供幫助，答疑解惑，進行心理疏導等。教師可以通過重點跟進、及時明示、激勵評價等方式提高學生的心理素質(zhì)，培養(yǎng)學生科學態(tài)度和理性精神，讓學生在考場中尤其是在遇到難題時，能夠冷靜思考、大膽猜想、嚴謹論證。

教師要研究復習方法，注重提升學生數(shù)學思維水平

近年，為了“秒殺”某類（或者某道）高考題，有人建議高三復習時拓展一些高中數(shù)學知識，甚至建議增加高等數(shù)學、競賽數(shù)學中的內(nèi)容。如果一些學生確實學有余力，適度拓展學習內(nèi)容也符合課標的理念；但對于大多數(shù)學生而言，學習并掌握這些新內(nèi)容需要時間和精力，會增加學習的壓力和負擔，這些新內(nèi)容今后的使用頻率不高，高考復習中拓展知識內(nèi)容確實需要慎重。

我們更應該重視高三復習課的精準和務實。有的教師嚴格按照高考要求進行教學，“考什么講什么”“怎么考怎么講”，直接把高考對某個內(nèi)容的要求作為一節(jié)課的教學目標，并不十分科學。在復習課中，課時目標不求多、不求全，要精準、明確、具體，教學過程中要重落實、重指導、重生成。

對于學生在復習中出現(xiàn)的問題，教師要給出具體的方法。比如前面提到的那節(jié)高三試卷講評課，教師應引導學生畫出立體幾何圖形底面的平面圖（而不是立體圖），在平面圖中標出位置關系和數(shù)量關系，再分析其中點、線的位置關系，或者將不規(guī)則的立體圖形補成熟悉的長方體，借助長方體分析其中各元素之間的位置關系等，同時要有相應的變式題目進行練習和鞏固。對于學生出現(xiàn)的問題，教師要有具體的方法指導和示范，尤其是對于計算錯誤這種典型問題，很多教師只是反復強調(diào)“要認真”“多練習”，這種表達太空泛了，學生主觀上一定是認真的，也會努力的，如果沒有找到算錯的原因，沒有恰當?shù)姆椒?，“多練習”可能就是在強化錯誤，適得其反。

教師要幫助學生建立知識間的聯(lián)系。豐富的聯(lián)系不僅能幫助學生理解內(nèi)容，而且不容易忘記。對于創(chuàng)新題和難題，教師一定要講自己的思考過程，包括在解決問題過程中遇到的困難以及是如何解決的，解決的過程中出現(xiàn)過哪些新的問題，甚至自己走的彎路，等等。通過教師的示范，尤其是展示思考過程，讓學生體會到“當我們不知道做什么的時候怎么做”。

教師要提高學生數(shù)學思維的參與度。思維參與的深度和廣度直接影響著解題效率。強調(diào)數(shù)學思維的參與，不僅僅是讓學生用更多的時間來學習數(shù)學，更重要的是通過發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，加深對客觀世界的數(shù)量關系和空間形式的本質(zhì)的一般性認識。

第一輪復習時，一題多解是常見的幫助學生建立知識間的聯(lián)系、培養(yǎng)發(fā)散思維的方法。第二輪復習時，多解歸一、多題歸一更是數(shù)學內(nèi)容、數(shù)學方法的一般性的概括，能促成對通性通法更上位的理解。在復習過程中，教師要注重培養(yǎng)學生的數(shù)學概括、數(shù)學抽象、數(shù)學推理、數(shù)學化歸，以及數(shù)學的符號化表達能力，拓展思維參與的深度和廣度，提高數(shù)學思維的靈活性。

無論課上還是課下，教師都要不斷促進學生自我反思和調(diào)整，不斷加強學習方法和考試策略的指導。比如高三第二輪復習，不僅要讓學生從答題者角度進行反思（解答過程中需要注意什么？），還應讓學生換位思考，從出題人的視角分析整套試卷（每個題目考查了哪些知識？考查了哪些方法？試卷的整體結構是什么樣的？參考答案中為什么選擇了這個解答方法？），甚至可以從閱卷教師的角度分析標準答案（評分標準的確定依據(jù)是什么？如何規(guī)范書寫？）。

無論基礎題還是創(chuàng)新題，高三復習時都要有具體的策略。每年的高考命題都是穩(wěn)中有新，因此要有適度的練習和適度的形式化，但是千萬不要僵化。

（作者系北京教育學院教授、數(shù)學與科學教育學院副院長、數(shù)學教育研究中心主任）

《中國教育報》2023年02月10日第3版